テスト

午前の部（３時間）

[１]次の各問に答えなさい
（１）極座標表示された閉曲線ｒ＝１＋ｃｏｓθ（０≦θ≦２π）が
　　　囲む領域の面積と曲線の全長を求めなさい。

（２）次の３重積分を計算しなさい。
　　　　Ｖ＝∫∫∫_Ｄｘｙｚ　ｄｘｄｙｄｚ
　　　ただし、積分範囲Ｄ＝｛（ｘ，ｙ，ｚ）∈Ｒ^３：ｘ^２／ａ^２＋ｙ^２／ｂ^２＋ｚ^２／ｃ^２≦１　，　ｘ，ｙ，ｚ≧０｝
　　　であり、ａ，ｂ，ｃ＞０は定数とする。


[２]ａを実数とし、次の各問に答えなさい。
（１）４次元実ベクトル空間Ｒ^４内の４個の列ベクトルの組

	ａ			１			０			０
	２			ａ			１			０
	０			１			ａ			２
	０			０			１			ａ

　　　が一次従属となるようなａの値をすべて求めなさい。

（２）行列Ａ（ａ）＝

ａ １ ０ ０ ２ ａ １ ０ ０ １ ａ ２ ０ ０ １ ａ

　　　の階数を調べなさい。

（３）一般にｎ次正方行列Ｂがある自然数ｋに対してＢ^ｋ＝０を
　　　満たすとき、０でない任意の実数ｔに対してＢ−ｔＩ_ｎの
　　　逆行列が存在することを示しなさい。ただし

Ｉｎ＝

１ ０ ０ １

はｎ次単位行列とする。

（４）問（２）で定めた行列Ａ（ａ）は、任意の実数ａと任意の
　　　自然数ｋに対してＡ（ａ）^ｋ≠０となることを示しなさい。

[３]Ａをｎ次実対称行列とする。零ベクトルでない任意のｎ次元ベクトル
ｘに対して^ｔｘＡｘ＞０が成り立つとき、Ａを正定値と定義する。ただし、
^ｔｘはベクトルの転置を表わす。このとき、次の各問に答えなさい。

（１）ｎ次正方行列Ａに対して、次の３条件は互いに同値であることを
　　　示しなさい。
　　　（ａ）Ａは正定値。
　　　（ｂ）Ａの全ての固有値は正。
　　　（ｃ）ある正則行列ＢがあってＡ＝^ｔＢＢとなる。ただし、^ｔＢは
　　　　　　行列Ｂの転置を表わす。

（２）３次実対称行列

Ａ＝

２ −１ −１ −１ 　６ −３ −１ −３ 　６

　　　に対して、
　　　（ｉ）Ａの固有値と固有ベクトルを求めなさい。
　　　（ｉｉ）Ａの固有値をλ_１、λ_２、λ_３とするとき

Ａ＝Ｔ

λ１ ０ ０ ０ λ２ ０ ０ ０ λ３

ｔＴ

　　　　　　となる直行行列Ｔを求めなさい。
　　　（iii）Ａ＝Ｓ^ｔＳとなる３次正方行列Ｓをひとつ求めなさい。


[４]Ｒ^２上のＣ^２級関数ｆ（ｘ，ｙ）が次の２条件（ｉ）（ｉｉ）を満たすとする。
　（ｉ）円板Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）∈Ｒ^２：ｘ^２＋ｙ^２＜１｝上で、対称行列

Ｈ＝

∂２ｆ ∂ｘ２ ∂２ｆ ∂ｘ∂ｙ ∂２ｆ ∂ｙ∂ｘ ∂２ｆ ∂ｙ２

　　　　は正定値である。
　（ｉｉ）Ｄの境界∂Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）∈Ｒ^２：ｘ^２＋ｙ^２＝１｝上で
　　　　　ｆ（ｘ，ｙ）＝０が成り立つ。
　　このとき、次の各問に答えなさい。

　（１）ｆ（ｘ，ｙ）をＤ上の点（ａ，ｂ）のまわりで２時の項が剰余項に
　　　　なるようにテイラー展開しなさい。

　（２）Ｄ上の点（ａ，ｂ）で
　　　　

∂ｆ ∂ｘ

（ａ，ｂ）＝

∂ｆ ∂ｙ

（ａ，ｂ）＝０

　　　　が成り立つとする。このときｆ（ａ，ｂ）はＤにおけるｆの最小値で
　　　　あることを証明しなさい。

　（３）ｆ（ｘ，ｙ）はＤ上で最大値を取らないことを証明しなさい。

　（４）∂Ｄ上の任意の点（ｘ，ｙ）に対して、 　　　　　　　

∂ｆ ∂ｒ

（ｘ，ｙ）＞０

　　　　を示しなさい。ただし、ｒは（ｘ，ｙ）を極座標表示したときの
　　　　動径成分とする。


[５]以下の（１）から（３）の真偽を判定しなさい。正しいときは証明を与え、
　　正しくないときは反例または反証を与えなさい。

　（１）次の広義重積分の値は有限である。
　　　　　　　　　　　

∫∫Ｄ	ｄｘｄｙ （１＋ｘ＋ｙ）２

　　　　ただし、Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）∈Ｒ^２：ｘ≧０，ｙ≧０｝とする。

　（２）非負数列ａ_ｎ≧０（ｎ＝１，２，３・・・）が、
　　　　　　　　　　　　

ｌｉｍ ｎ→∞

ａ１＋ａ２＋・・・＋ａｎ ｎ

＝０

を満たすならば

ｌｉｍ ｎ→∞

＝０である。

　（３）整数を成分とする行列を整数行列と呼ぶ。。正則な整数行列Ａの
　　　　逆行列が整数行列となるための必要十分条件は、Ａの行列式が
　　　　１または−１に等しいことである。

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